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复利：为什么它的大部分收益，都发生在最后几年
「跟着 AI 学任何东西」系列第 38 篇，也是「钱的运行规律」这一系列的开篇。前面写身体、写熵，这一篇换到钱上——但用的还是同一套东西：人对非线性增长的直觉，是坏的。
⚠️ 本文讲的是复利这个数学机制，不构成任何投资建议。 文中所有收益率都是为了说明机制而设的假设值，不是对任何资产的预期，更不是承诺。真实投资有波动、有亏损可能，请自行判断并对自己的钱负责。
从一个几乎所有人都答错的问题开始
假设一笔钱，年化 7%，放 40 年。问：前 20 年赚的，和后 20 年赚的，比例大概是多少？
大多数人的直觉答案在「四六开」到「三七开」之间。
真实答案是：
- 前 20 年，本金变成 3.9 倍（也就是赚了 2.9 倍本金）；
- 后 20 年，从 3.9 倍变成 15 倍（又赚了 11.1 倍本金）。
后一半时间，贡献了整段收益的约 80%。
同样长的两段时间，同样的收益率，结果差了四倍。这不是什么金融魔法，只是我们的脑子不会算指数。
一、复利到底是什么：一句话的机制
单利和复利的差别只有一处：
- 单利：利息只由本金产生。本金不变，每年赚的绝对数额也不变——这是一条直线。
- 复利：上一期赚到的钱，这一期也开始赚钱。
关键在第二句。它意味着增长的「基数」本身在增长——这是一个递归：
今年的增量，取决于去年的总额；而去年的总额，包含了前年的增量。
数学上就是 本金 × (1 + r)ⁿ——n 在指数位置上。
而人脑对「n 在指数上」这件事基本没有感觉。我们的直觉是线性的：以为二十年赚一份，四十年就赚两份。
二、一个能心算的工具：72 法则
不用记公式，记这个：
翻倍所需年数 ≈ 72 ÷ 年化收益率（百分数）
- 年化 6% → 72 ÷ 6 = 12 年翻一倍（精确解 11.9 年）
- 年化 3% → 24 年
- 年化 9% → 8 年
它的价值在于把「百分比」翻译成「时间」，而人对时间的感觉远好于对百分比的感觉。
而且它反过来用更狠：4% 和 8% 听起来只差一倍；但翻倍时间是 18 年 vs 9 年——放 36 年，前者翻 2 次（4 倍），后者翻 4 次（16 倍）。 差的不是一倍，是四倍。
收益率的差异是线性的，它造成的结果差异是指数的。
三、反过来也一样成立：通胀是复利的镜像
同一个公式，把 r 换成负的，就是购买力的故事。
按 3% 的通胀算，72 ÷ 3 = 24 年，钱的购买力减半。
这句话的含义比它听起来严重：「把钱放着不动」不是零风险，是一个确定的、每年 3% 的负收益。 只是它不会给你发对账单。
由此得到一个必须建立的习惯：
看到任何收益率，先减去通胀。 名义收益率 5%、通胀 3%，你的实际收益率大约只有 2%——而复利算的是实际收益率那一栏。
四、⭐ 这不是钱独有的：三种「非线性」，人一种都算不好
写到这里我发现，这已经是这本书第三次撞上同一堵墙了。
- 讲体检的年龄门槛时：癌症发病率大致正比于年龄的 4~6 次方。40 岁到 60 岁，年龄只涨 1.5 倍，发病率涨约 7.6 倍。
- 讲熵的时候：一副牌「排好」只有 1 种排法，「乱」有约 8 × 10⁶⁷ 种。我们以为的「趋向混乱」，其实只是一个大得离谱的靶子。
- 这一篇：40 年的复利，后一半吃掉 80% 的收益。
三件事看起来毫无关系，但失败的是同一个官能：
人脑默认用线性外推。而一旦增长率本身依赖于当前的量（或者可能性的数目在相乘），线性直觉就会错得离谱——不是差一点，是差一个数量级。
顺带澄清一个常见的混淆：上面三个里，复利是「指数」（底数固定，n 在指数上），发病率是「幂律」（指数固定，n 在底数上）。它们的曲线形状不一样，成因也不一样，只是都被我们的线性直觉一视同仁地低估了。
所以真正该带走的不是「复利很厉害」，而是： 当你发现一个量的增长依赖于它自己现在的大小，立刻停止心算，去算一下。你的直觉在这里没有参考价值。
五、复利有三个条件，而现实里三个都不容易
上面所有推演都建立在一个理想假设上：不中断、不取出、每年都是正收益。 现实里这三条都很难，而每一条被打破的代价都很大。
① 中断的代价是指数级的。 复利的收益集中在后段——这意味着你砍掉的从来不是最不值钱的那几年，而是最值钱的那几年。「等有钱了再开始」这个念头，砍掉的正是曲线最陡的那一段。
② 波动本身就是成本。 一个必须知道的算术：
第一年 +50%，第二年 −50%，你不是回到原点，你是 −25%（1.5 × 0.5 = 0.75）。
跌 50% 需要涨 100% 才能回本。所以**「平均收益率」和「实际到手的收益率」是两个数**，后者永远不高于前者。这也是为什么「稳定的中等收益」经常打败「大起大落的高收益」。
③ 费用也在复利。 同样 40 年，年化 7% 和年化 6%（差的那 1% 是费用）：终值分别是 15.0 倍和 10.3 倍。
一个每年 1% 的费用，四十年吃掉了约三分之一的终值。
它每年只从你这儿拿走 1%，看起来微不足道——但它拿走的是那 1% 本来也会继续复利下去的所有后代。
六、⚠️ 必须说清楚的边界
第一，7% 这个数字是我为了说明机制随手设的，不是任何资产的预期收益。 它不是承诺，也不代表历史一定重演。真实市场有长期不涨的时段，也有本金永久损失的可能。
第二，复利的公式假设收益率是固定的，而现实里它不是。 同样的平均收益率，顺序不同结果就不同——尤其在你开始取钱之后，早期若遇上大跌，损害远大于晚期遇上（这在金融里叫「序列风险」）。公式给你的是一个理想化的骨架，不是预测。
第三，「时间是你的朋友」不等于「买了就一定赚」。 复利放大的是收益率，也同样放大亏损和费用。它是一个乘数，不是一个方向。
第四，本文不推荐任何具体产品、资产或策略。 它想给的只有一件事：看到「年化 x%、持有 n 年」时，你脑子里应该出现的不是一条直线。
收尾
这一系列后面会讲通胀、利率、保险、指数基金——它们看起来是不同的题目，但底下大多是同一件事：
我们对时间和概率的直觉，都是为了在一个线性的、短期的世界里活下来而进化出来的。而钱这件事，恰好同时是非线性的和长期的。
所以这一系列真正要练的不是理财技巧，是在直觉失灵的地方，认出它失灵了，然后动手算一下。
一句话收：
复利真正的敌人，从来不是收益率不够高，而是开始得晚、中途断掉、以及每年被悄悄拿走的那一点点。
附：这次我是怎么问 AI 的
- 先要一个能让我自己答错的问题。 我没有直接问「复利是什么」，而是让它出一道我大概率会答错的题——「前 20 年和后 20 年各赚多少」。先体验一次直觉失灵，再看解释，效果完全不同。 这个做法在整本书里应该多用。
- 要求把百分比翻译成时间。 72 法则的价值不在于精确，而在于换了一个人脑更敏感的单位。以后遇到任何难以感受的量，都可以问一句「能不能换个我有感觉的单位」。
- 主动问「这个公式的前提是什么，前提被打破会怎样」。 这一问直接问出了本文最实用的第五节——中断、波动、费用。一个漂亮的公式，最有价值的部分往往在它的适用条件里。
- 拿新知识回去和旧知识对账。 复利（指数）、发病率（幂律）、熵（可能性数目）——三件事一撞，才发现失败的是同一个官能。顺便也澄清了我自己的一个混淆：指数和幂律不是一回事。 这种跨系列的对账，是这本书目前产出密度最高的动作。
参考来源
- 复利终值公式与 72 法则（翻倍年数 ≈ 72 ÷ 年化收益率百分数）：标准金融数学内容。文中数值均可自行验算：1.07²⁰ ≈ 3.87，1.07⁴⁰ ≈ 14.97，1.06⁴⁰ ≈ 10.29；72 ÷ 6 = 12 年，精确解 ln2 ÷ ln1.06 ≈ 11.9 年。
- 「+50% 后 −50% 等于 −25%」：1.5 × 0.5 = 0.75，几何平均低于算术平均的直接后果。
- 「序列风险」（sequence-of-returns risk）：退休金融领域的标准概念。
- 年龄别癌症发病率的幂律、以及 52! ≈ 8 × 10⁶⁷：见本系列《体检的年龄门槛》与《熵》两篇的来源清单。
本文为科普，不构成投资建议。文中所有收益率均为便于说明机制而设的假设值，不代表任何资产的预期或历史表现。